Что такое сумма наибольших делителей числа

Определение наибольшего делителя

Наибольший делитель числа (не считая самого числа) - это наибольшее целое число, на которое исходное число делится без остатка. Для натурального числа n > 1 этот делитель обозначается как D(n).

Примеры наибольших делителей:

• D(10) = 5 (делители: 1, 2, 5)
• D(17) = 1 (простое число)
• D(24) = 12 (делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12)

Сумма наибольших делителей

Сумма наибольших делителей для последовательности чисел от 1 до n вычисляется как:

SD(n) = Σ D(k) для k от 1 до n

Где D(k) - наибольший собственный делитель числа k (не равный k). По определению D(1) = 0.

Примеры вычисления

Математические свойства

Связь с простыми числами:

Для простого числа p наибольший делитель всегда равен 1, так как простые числа имеют только два делителя: 1 и само число.

Асимптотическое поведение:

SD(n) ≈ π²n²/24 при n → ∞. Это означает, что сумма растет пропорционально квадрату n.

Применение в математике

• Исследование распределения делителей чисел
• Анализ арифметических функций
• Изучение свойств совершенных и дружественных чисел
• Приложения в криптографии

Алгоритм вычисления

Простейший способ:

1. Для каждого числа k от 1 до n найти наибольший делитель
2. Сложить все полученные значения

Оптимизированный алгоритм:

1. Инициализировать массив D[1..n] нулями
2. Для каждого d от 1 до n/2:
   • Для каждого кратного k = 2d, 3d, ... ≤ n:
     • Если d > D[k], установить D[k] = d
3. Суммировать все элементы массива D

Интересные факты

Сумма наибольших делителей тесно связана с другими арифметическими функциями, такими как:

• Функция суммы делителей σ(n)
• Функция Эйлера φ(n)
• Функция Мёбиуса μ(n)

Изучение свойств суммы наибольших делителей продолжает оставаться активной областью исследований в теории чисел.

Запомните, а то забудете