Правильные многоугольники обладают особыми геометрическими свойствами, включая строго определенную сумму внутренних углов. Рассмотрим основные формулы и закономерности для этих фигур.
Содержание
Основная формула суммы внутренних углов
Для любого выпуклого n-угольника сумма внутренних углов вычисляется по формуле:
S = (n - 2) × 180°
где n - количество сторон (и углов) многоугольника.
Свойства правильных многоугольников
- Все стороны равны между собой
- Все углы равны между собой
- Центр симметрии совпадает с центром описанной и вписанной окружностей
Величина одного угла правильного многоугольника
α = (n - 2) × 180° / n
Примеры для различных правильных многоугольников
| Многоугольник | Количество сторон (n) | Сумма углов | Величина одного угла |
| Равносторонний треугольник | 3 | 180° | 60° |
| Квадрат | 4 | 360° | 90° |
| Правильный пятиугольник | 5 | 540° | 108° |
| Правильный шестиугольник | 6 | 720° | 120° |
| Правильный n-угольник | n | (n-2)×180° | (n-2)×180°/n |
Доказательство формулы
- Многоугольник можно разбить на (n-2) треугольника
- Сумма углов каждого треугольника равна 180°
- Общая сумма углов равна сумме углов всех треугольников
- Таким образом, S = (n - 2) × 180°
Применение в геометрии
- Построение правильных многоугольников
- Вычисление параметров кристаллических решеток
- Решение задач на мозаики и паркеты
- Конструирование архитектурных форм
Интересный факт
С увеличением числа сторон правильного многоугольника величина каждого его угла приближается к 180°, а сама фигура становится все более похожей на окружность.
